Forrige Næste

Matematikdelen  side 12

 
     

Graf for cosh(x)

Graf for sinh(x)

Grafer for a*cosh(x/a)

Kædelinieform

Længden af en kædelinie

Kædelinier i Gaudí´s bygninger

Kædelinieform

Gaudi lavede buer i sine bygninger med kædelinieform. Man kan vise både matematisk og ved at udføre forsøg at når en homogen snor som er fuldstændig bøjelig, ophænges i to punkter kun påvirket af tyngdekraften, så vil kurveformen i et passende koordinatsystem have ligningen

hvor a er et positivt tal. En sådan kurve kaldes derfor også en kædelinie. Klik evt. på forskriften.

Nær ved sit minimum er kædelinien meget tæt på parablen y=a+x2/(2a) men ved store x-værdier afviger de kurver meget fra hinanden. Ikke desto mindre kaldes Gaudis buer ofte fejlagtigt for parabler.

Sættes a=1 ovenover fås funktionen

 

 som kaldes hyperbolsk cosinus. Den findes ikke på lommeregneren men kan beregnes på følgende måde:

hvor  blot er den eksponentialfunktion der har grundtallet e=2,72… Der findes en tast til denne eksponentialfunktion på lommeregneren.

 

Øvelse 1:

a) Tegn grafen for funktionen

     

    Brug [-5;5]x[0;20].

 

b) Kommentér kurven - ligner det noget velkendt?

 

Man kunne tro at det er en parabel men det er det ikke.

 

c) Prøv at tegne grafen for

    

    i samme koordinatsystem som ovenover. Kommentér. Link til facit

 

d) Find fællespunkter for de to kurver med grafregner.

 

Vi vil nu undersøge hvilken betydning tallet a har for vores kædelinie.

 

 

Øvelse 2:

Betragt funktionsfamilien

 

Bredden g af kurven defineres som afstanden mellem grafens to grene i højden y=2a. Den kan beregnes på lommeregner med formlen .

(ln er den naturlige logaritmefunktion - findes på lommeregneren)

 

a) Tegn graferne for funktionerne for a=0,5 og a=1 og a=2 og a=3

    Brug [-5;5]x[0;20].

b) Kommentér kurverne og a´s betydning.

c) Undersøg om det er rigtigt at minimum antages i (0,a)

d) Mål bredden g af de fire kurver og kontroller at det passer med den værdi man får ved indsættelse i formlen.

 
 
     

Kædelinieform

Længden af en kædelinie

Kædelinier i Gaudí´s bygninger

 

Længden af en kædeliniebue - modeller for kædelinier

For at undersøge om buerne virkelig kan beskrives ved den funktion vi kalder hyperbolsk cosinus, er vi nødt til at vide mere.

 

Man kan vise at længden l af buen en ophængt kæde danner, er givet ved:

         

hvor x er det halve af afstanden mellem de to ophængspunkter. Funktionen sinh(x) kaldes hyperbolsk sinus og er defineret ved:

 

         

Den funktion der beskriver den bue en bestemt ophængt kæde følger kan nu bestemmes ved at måle kædens længde og afstanden mellem de to ophængspunkter, idet ovennævnte ligning så kan løses mht. til a på en TI-89 (med SOLVER) eller på computer.

 

 

Eks. 1:

Egon tager en kæde på 2 m og hænger den op således der er 1 m mellem de to ophængspunkter.

Vi vil bestemme en forskrift for den funktion der beskriver kædens form.

 

Det vides at l=2 m og x=0,5m. Dette indsættes i formlen for l. Vi får:

 

         

 

Dette løses med SOLVER (man er nødt til at bruge x som a). Startgæt vælges til f. eks a=1 og man får så:

 

          a=0,2296

 

Man kan også tegne grafen for 2*x*sinh(0.5/x)-2, dernæst aflæse skæring med 1.-aksen. Brug zoom til at få en præcis aflæsnnig.

 

Da man ved at kæden beskrives ved en hyperbolsk cosinus har man at buen er beskrevet ved:

 

Øvelse 3

Tegn grafen for funktionen der blev bestemt i eksempel 1 i et almindeligt koordinatsystem. Husk at indtegne de to endepunkter.

Bestem ”højden” af buen ved at aflæse den største y-værdi og fratrække den mindste y-værdi.


Med ovennævnte metode er vi i stand til at lave modeller for kædelinier og dernæst finde den funktion der beskriver vores kædelinie. Vi kan f.eks. vælge en kæde på 2m og så variere afstanden mellem ophængspunkterne. Ved målinger på kæden kan vi kontrollere at kæden følger den teoretiske kurve som kan bestemmes som vist i eksempel 1. På denne måde kan man fremstille præcis den bue man har brug for, så den opfylder kravene til en kædelinie, hvis man kender buens længde.

 
 
     

Kædelinieform

Længden af en kædelinie

Kædelinier i Gaudí´s bygninger

 

Kædelinier i Gaudí´s bygninger

Bestemmelse af kædelinien ud fra højde og bredde

 

Som arkitekt er det også interessant at kunne bestemme kurvens form ud fra buens højde h og afstanden b=AB mellem ophængspunkterne A og B.

 Man finder at:



idet vi lægger et koordinatsystem således minimum er i (0,a),

dvs. B=(½b , a·cosh(½b/a)).

Nu kan kædelinien bestemmes hvis højden h og bredden b af buen kendes.

 

Eks. 2:

En arkitekt ønsker at lave en port der følger en kædelinie. Portens højde skal være 10 m og porten skal være 10 m ved jordoverfladen.

Vi vil bestemme den forskrift der giver den korrekte kædelinie ved at indsætte i formlen ovenover, idet h=10 m og b=10 m:

         

Denne ligning løses med SOLVER på TI-89 eller med net-grafregneren, og man får:

           a = 2,0272

dvs.

         

Øvelse 4

Beregn de to endepunkter(-5, f(-5)) og (5, f(5)).

Tegn grafen for funktionen der blev bestemt i eksempel 1 i et almindeligt koordinatsystem (på mm-papir). Brug [-5;5]x[0;20].

Kontrollér ved aflæsning med lineal at højden er 10 m og at AB er 10 m.

 
Bestemmelse af kædelinien på buer på fotos

Vi har nu mulighed for at tage billeder af buer i Gaudis bygninger og undersøge om buerne er kædeliniebuer.

 

Øvelse 5

På side 1 er indgangsporten til Palau Güell. Det skal nu kontrolleres om buerne er kædeliniebuer.

Aflæs højden h og bredden b (i cm) på den yderste bue i en af portene.

Vi kender ikke de rigtige mål men bare billedet er taget lige på så forholdet mellem højde og bredde er korrekt kan vi kontrollere buen.

Bestem a som i eksemplet ovenover.

Tegn et koordinatsystem, og tegn grafen for den bestemte funktion.

Læg billedet under et gennemsigtig chartek og tegn buen på charteket. Læg nu mm-papiret under charteket og prøv at få de to buer til at følges ad - tegn evt. en streg der viser buen på fotografiet.

Kommentér resultatet.

 

 

Øvelse 6

Her er et link  til et billede af en kæde der er 2m lang. Afstanden AB er målt til 71 cm og højden er målt til  88,5 cm.

Beregn a ud fra AB og længden på kæden.

Tegn den tilhørende teoretiske kurve og beregn den teoretiske værdi for h.